Berbagi Soal Aturan Sinus Kelas XI Matematika Tingkat Lanjut
Anis Faozi
Oktober 30, 2026
SMA Kelas XI • Matematika
Penilaian Semester
Jumlah Soal
10
Waktu
30 Menit
Matematika
Sisa Waktu:00:00
1
Dalam segitiga $ABC$, diketahui panjang sisi $b = 8$ cm, besar sudut $A = 30^\circ$, dan besar sudut $B = 45^\circ$. Tentukan panjang sisi $a$.
PEMBAHASAN:
Menggunakan aturan sinus: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $. Maka $ \frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{8}{\sin 45^\circ} $. $ \frac{a}{1/2} = \frac{8}{1/2 \sqrt{2}} $. $ a = \frac{1/2 \times 8}{1/2 \sqrt{2}} = \frac{4}{1/2 \sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} $ cm.
2
Perhatikan segitiga $PQR$ berikut. Manakah pernyataan yang benar terkait penerapan aturan sinus pada segitiga tersebut?
Pilih lebih dari satu jawaban yang benar:
PEMBAHASAN:
1. Benar. Diketahui S-Sd-Sd (sisi, sudut, sudut), dapat mencari sisi lain. Sudut $P$ dapat dicari dari $180^\circ - Q - R$. Kemudian gunakan $ \frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} $. 2. Benar. Diketahui S-S-Sd (sisi, sisi, sudut), dapat mencari sudut lain. Gunakan $ \frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} $. 3. Benar. Diketahui S-S-Sd (sisi, sisi, sudut apit), ini adalah kasus aturan cosinus. Aturan sinus tidak dapat langsung digunakan untuk mencari sudut $P$ atau $Q$ tanpa mengetahui sudut $R$ atau salah satu sudut lainnya. 4. Benar. Diketahui S-Sd-Sd. Sudut $R$ dapat dicari ($180^\circ - P - Q$). Kemudian $ \frac{p}{\sin P} = \frac{r}{\sin R} $, sehingga $r$ dapat ditentukan.
3
Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut terkait aturan sinus pada segitiga $ABC$. Tentukan apakah setiap pernyataan Benar atau Salah.
Pernyataan
Benar / Salah
Jika $a > b$, maka $A > B$.
Jika $A = B$, maka $a = b$.
Perbandingan $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$.
Aturan sinus dapat digunakan untuk mencari panjang sisi jika diketahui dua sisi dan satu sudut apitnya.
PEMBAHASAN:
1. Benar. Dalam segitiga, sisi yang lebih panjang berhadapan dengan sudut yang lebih besar. Ini adalah konsekuensi dari aturan sinus. 2. Benar. Jika sudut yang berhadapan sama besar, maka sisi yang berhadapan juga sama panjang (segitiga sama kaki). Ini juga konsekuensi dari aturan sinus. 3. Benar. Dari $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k $, maka $a = k \sin A$, $b = k \sin B$, $c = k \sin C$. Jadi $a : b : c = k \sin A : k \sin B : k \sin C = \sin A : \sin B : \sin C$. 4. Salah. Jika diketahui dua sisi dan satu sudut apitnya (S-Sd-S), maka aturan cosinus yang digunakan. Aturan sinus digunakan untuk S-Sd-Sd atau S-S-Sd (bukan sudut apit).
4
Dalam segitiga $XYZ$, diketahui panjang sisi $x = 6$ cm, panjang sisi $y = 6\sqrt{3}$ cm, dan besar sudut $X = 30^\circ$. Tentukan besar sudut $Y$.
PEMBAHASAN:
Menggunakan aturan sinus: $ \frac{x}{\sin X} = \frac{y}{\sin Y} $. Maka $ \frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\sin Y} $. $ \frac{6}{1/2} = \frac{6\sqrt{3}}{\sin Y} $. $ 12 = \frac{6\sqrt{3}}{\sin Y} $. $ \sin Y = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Nilai $\sin Y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ memberikan dua kemungkinan sudut, yaitu $Y = 60^\circ$ atau $Y = 120^\circ$. Karena $y = 6\sqrt{3} \approx 10.39$ cm lebih besar dari $x = 6$ cm, maka sudut $Y$ harus lebih besar dari sudut $X = 30^\circ$. Kedua nilai $60^\circ$ dan $120^\circ$ memenuhi kondisi ini. Namun, dalam konteks soal pilihan ganda, seringkali diharapkan untuk mempertimbangkan kasus sudut tumpul jika memungkinkan, terutama ketika sisi yang berhadapan lebih panjang. Jika $Y=60^\circ$, maka $Z=90^\circ$. Jika $Y=120^\circ$, maka $Z=30^\circ$. Kedua segitiga valid. Pilihan $120^\circ$ seringkali menjadi jawaban yang dimaksudkan untuk menguji pemahaman tentang kasus ambigu.
5
Sebuah mercusuar $M$ berjarak 10 km dari pelabuhan $P$. Dari pelabuhan $P$, sebuah kapal $K$ berlayar dengan arah $030^\circ$. Sudut yang dibentuk oleh garis $PM$ dan $PK$ adalah $30^\circ$. Jika sudut $PKM$ adalah $45^\circ$, tentukan jarak kapal $K$ dari mercusuar $M$.
PEMBAHASAN:
Kita memiliki segitiga $PKM$. Diketahui $PM = 10$ km. Sudut $P = 30^\circ$ (sudut $MPK$). Sudut $K = 45^\circ$ (sudut $PKM$). Kita ingin mencari jarak $KM$. Menggunakan aturan sinus: $ \frac{KM}{\sin P} = \frac{PM}{\sin K} $. $ \frac{KM}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{\sin 45^\circ} $. $ \frac{KM}{1/2} = \frac{10}{1/2 \sqrt{2}} $. $ KM = \frac{1/2 \times 10}{1/2 \sqrt{2}} = \frac{5}{1/2 \sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} $ km.
6
Dalam segitiga $ABC$, diketahui panjang sisi $a$, $b$, dan $c$ serta sudut $A$, $B$, dan $C$ yang berhadapan. Manakah pernyataan yang benar?
7
Sebuah pesawat terbang dari kota $A$ ke kota $B$ dengan jarak 120 km. Kemudian melanjutkan perjalanan dari kota $B$ ke kota $C$. Sudut yang dibentuk oleh jalur $AB$ dan $BC$ adalah $120^\circ$. Jika sudut di kota $C$ (sudut $BCA$) adalah $30^\circ$, tentukan jarak dari kota $B$ ke kota $C$.
PEMBAHASAN:
Kita memiliki segitiga $ABC$. Diketahui $AB = 120$ km. Sudut $B = 120^\circ$ (sudut $ABC$). Sudut $C = 30^\circ$ (sudut $BCA$). Kita ingin mencari jarak $BC$. Pertama, cari sudut $A$: $A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$. Menggunakan aturan sinus: $ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} $. $ \frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{120}{\sin 30^\circ} $. Karena $\sin A = \sin C$, maka $BC = AB$. Jadi, $BC = 120$ km.
8
Diberikan segitiga $PQR$ dengan $p, q, r$ adalah panjang sisi yang berhadapan dengan sudut $P, Q, R$. Tentukan apakah setiap pernyataan Benar atau Salah.
Pernyataan
Benar / Salah
Jika $P = 60^\circ$, $Q = 75^\circ$, dan $p = 10$ cm, maka $q = \frac{10\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ}$.
Jika $p = 7$ cm, $q = 14$ cm, dan $P = 30^\circ$, maka $Q = 90^\circ$.
Jika $p = 8$ cm, $q = 8$ cm, dan $R = 60^\circ$, maka $P = Q = 60^\circ$.
Jika $P = 45^\circ$, $Q = 60^\circ$, dan $R = 75^\circ$, maka $p:q:r = \sqrt{2} : \sqrt{6} : (\sqrt{6}+\sqrt{2})$.
PEMBAHASAN:
1. Benar. Menggunakan aturan sinus: $ \frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} \Rightarrow q = \frac{p \sin Q}{\sin P} = \frac{10\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} $. 2. Benar. Menggunakan aturan sinus: $ \frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} \Rightarrow \frac{7}{\sin 30^\circ} = \frac{14}{\sin Q} \Rightarrow \frac{7}{1/2} = \frac{14}{\sin Q} \Rightarrow 14 = \frac{14}{\sin Q} \Rightarrow \sin Q = 1 $. Maka $Q = 90^\circ$. 3. Benar. Jika $p = q = 8$ cm, maka segitiga $PQR$ adalah segitiga sama kaki, sehingga sudut $P = Q$. Karena $R = 60^\circ$, maka $P+Q = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Karena $P=Q$, maka $2P = 120^\circ \Rightarrow P = 60^\circ$. Jadi $P=Q=R=60^\circ$, yang berarti segitiga sama sisi. 4. Salah. Perbandingan sisi adalah $p:q:r = \sin P : \sin Q : \sin R$. $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $. Maka $p:q:r = \frac{\sqrt{2}}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $. Dikalikan 4, perbandingannya adalah $2\sqrt{2} : 2\sqrt{3} : (\sqrt{6}+\sqrt{2})$. Pernyataan tersebut salah.
9
Dalam segitiga $ABC$, diketahui panjang sisi $a = 10$ cm, $b = 5\sqrt{2}$ cm, dan besar sudut $A = 45^\circ$. Tentukan besar sudut $B$.
PEMBAHASAN:
Menggunakan aturan sinus: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $. $ \frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin B} $. $ \frac{10}{\sqrt{2}/2} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin B} $. $ \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin B} $. $ 10\sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin B} $. $ \sin B = \frac{5\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{2} $. Maka $B = 30^\circ$ atau $B = 150^\circ$. Karena $b = 5\sqrt{2} \approx 7.07$ cm lebih kecil dari $a = 10$ cm, maka sudut $B$ harus lebih kecil dari sudut $A = 45^\circ$. Hanya $B = 30^\circ$ yang memenuhi kondisi ini.
10
Diberikan segitiga $KLM$ dengan panjang sisi $k, l, m$ yang berhadapan dengan sudut $K, L, M$. Manakah pernyataan yang benar?
Pilih lebih dari satu jawaban yang benar:
PEMBAHASAN:
1. Salah. Sudut $K = 180^\circ - L - M = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$. Menggunakan aturan sinus: $ \frac{m}{\sin M} = \frac{k}{\sin K} \Rightarrow m = \frac{k \sin M}{\sin K} = \frac{12 \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ} $. Pernyataan tersebut menggunakan $\sin 60^\circ$ di penyebut, yang salah. 2. Benar. Menggunakan aturan sinus: $ \frac{k}{\sin K} = \frac{l}{\sin L} \Rightarrow \frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{10\sqrt{3}}{\sin L} \Rightarrow \sin L = \frac{10\sqrt{3} \sin 30^\circ}{10} = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Maka $L = 60^\circ$ atau $L = 120^\circ$. 3. Benar. Jika $k = l = 5$ cm, maka segitiga $KLM$ adalah segitiga sama kaki, sehingga sudut $K = L$. Jika $M = 90^\circ$, maka $K+L = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Karena $K=L$, maka $2K = 90^\circ \Rightarrow K = 45^\circ$. Jadi $K=L=45^\circ$. 4. Salah. Perbandingan sisi adalah $k:l:m = \sin K : \sin L : \sin M$, bukan $K:L:M$. Sudut adalah nilai dalam derajat, bukan nilai sinusnya.
Komentar
Posting Komentar